Correlación anómala

Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 9470 (2023) Citar este artículo

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La falta de analiticidad del eco de Loschmidt en momentos críticos en sistemas cuánticos apagados se denomina transición de fase cuántica dinámica, extendiendo la noción de criticidad cuántica a un escenario de no equilibrio. En este artículo, establecemos un nuevo paradigma de transiciones de fase dinámicas impulsadas por un cambio repentino en las correlaciones espaciales internas del potencial de desorden en un sistema desordenado de baja dimensión. La dinámica de extinción entre el hamiltoniano de sistema aleatorio preextinguido puro y posextinguido revela una transición de fase cuántica dinámica anómala desencadenada por una correlación de desorden infinito en el potencial de modulación. El origen físico del fenómeno anómalo está asociado con la superposición entre los dos estados extendidos claramente diferentes. Además, exploramos la dinámica de extinción entre el hamiltoniano de sistema puro preextinguido aleatorio y posextinguido. Curiosamente, el sistema apagado experimenta transiciones de fase cuánticas dinámicas para el potencial de ruido blanco previo al apagado en el límite termodinámico. Además, la dinámica de extinción también muestra una clara firma de la transición de fase de deslocalización en el modelo de Anderson correlacionado.

Las transiciones de fase cuántica en condiciones de no equilibrio se han convertido en un tema de vivo interés en el campo de la física de la materia condensada1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 ,17,18. Sorprendentemente, las transiciones de fase fuera del equilibrio están impulsadas por el progreso del tiempo, lo que proporciona un nuevo marco para explorar el comportamiento dinámico de los sistemas cuánticos que evolucionan en el tiempo13,14,19,20,21,22. De hecho, los conceptos de criticidad cuántica en situaciones de no equilibrio se han mapeado elegantemente a las transiciones de fase cuánticas dinámicas (DQPT), donde las singularidades del eco de Loschmidt identifican las DQPT de sistemas cuánticos apagados23,24,25. El eco de Loschmidt es una medida de la superposición entre los estados cuánticos de referencia y evolucionados en el tiempo, que ha sido ampliamente estudiado teóricamente7,8,9,10,11,12,13,14,19,20,21,22,23 ,24,25 y experimentalmente2,3,26,27. Un modelo paradigmático que muestra DQPT es el modelo de Aubry-André después de apagar la fuerza del potencial desproporcionado23,25. Además, también se ha explorado la dinámica de no equilibrio del modelo de Anderson después de una extinción de la fuerza del desorden24. El concepto de transiciones de fase dinámicas también se puede caracterizar por el eco de entrelazamiento28,29,30 (la superposición de los estados básicos hamiltonianos de entrelazamiento inicial y evolucionado en el tiempo) de los subsistemas integrados en sistemas cuánticos más grandes. Además, los DQPT pueden probarse midiendo el parámetro de orden de no equilibrio en el modelo de Lipkin-Meshkov-Glick con un campo transversal apagado31.

La localización de Anderson es una transición de fase cuántica impulsada por la fuerza del desorden no correlacionado bajo ciertas condiciones, como lo establece el trabajo seminal de Anderson32. En el contexto de la unión estrecha, todos los estados propios en los sistemas de baja dimensión que no interactúan están localizados por una cantidad infinitesimal de desorden en el límite termodinámico33, mientras que un sistema tridimensional muestra una transición metal-aislante con una fuerza de desorden crítica con un borde de movilidad que separa y estados localizados34,35,36,37,38.

Se sabe que las correlaciones en el potencial de desorden conducen a la transición de fase cuántica en el sistema desordenado correlacionado de baja dimensión que no interactúa39,40,41,42,43,44. Sorprendentemente, el modelo de Anderson correlacionado muestra la transición metal-aislante en el exponente de correlación crítica, \(\alpha =2\), con un borde de movilidad que delimita los estados extendidos y localizados39. La transición se reafirmó sobre la base de fuertes anticorrelaciones del potencial desordenado en el límite termodinámico40. Con respecto a la transición de fase, Pires et al.41 demostraron que la transición de fase de deslocalización puede ocurrir en \(\alpha \sim 1\) sin un borde de movilidad en el régimen perturbativo. Se encontró que la longitud de localización diverge como \((1-\alpha )^{-1}\) en el límite \(\alpha \rightarrow 1\) en el límite termodinámico, confirmado por los cálculos perturbativos analíticos41,42.

La transición de fase dinámica es un fenómeno cuántico crítico en situaciones de no equilibrio, caracterizado por las propiedades dinámicas de los sistemas cuánticos apagados. En este artículo, formulamos una evolución dinámica no estacionaria de fermiones que no interactúan con energías aleatorias correlacionadas diagonalmente. La dinámica de extinción cuántica se caracteriza por cambios repentinos en las correlaciones internas del potencial de desorden. Una representación esquemática del proceso de extinción cuántica para dos casos límite, es decir, procesos de extinción entre estados con (i) \(\alpha _{i}=\infty\) (deslocalizado), \(\alpha _{f}=0\) , (localizado), y (ii) \(\alpha _{i}=0\) (localizado), \(\alpha _{f}=\infty\) (deslocalizado), se ilustra en la Fig. 1. Nosotros obtener una característica universal del eco de Loschmidt para un estado de evolución temporal puro y fuertemente correlacionado inicialmente preparado. En este escenario, el eco de Loschmidt se vuelve anómalo no analíticamente en tiempos críticos, señalando los DQPT inducidos por la correlación. Sin embargo, convencionalmente, la amplitud de Loschmidt siempre es una para estados extendidos inicialmente fundamentales y evolucionados en el tiempo. Por otro lado, el eco de Loschmidt resulta ser dependiente del tamaño para un estado puro localizado inicialmente preparado y que evoluciona en el tiempo. Además, observamos la transición de deslocalización en el modelo de Anderson correlacionado desde la perspectiva del eco de Loschmidt.

La estructura del documento es la siguiente. La sección "El modelo de Anderson correlacionado" analiza el modelo de unión estrecha con el efecto de las energías aleatorias diagonales. La aleatoriedad del potencial de desorden se demuestra como un desorden correlacionado de largo alcance bajo la densidad espectral de ley de potencia. La sección "El eco de Loschmidt" se centra en las propiedades del eco de Loschmidt en el régimen perturbativo para varios exponentes de correlación. Discutimos las firmas dinámicas de la transición de fase cuántica caracterizada por los ceros del eco de Loschmidt en tiempos críticos. La última sección resume nuestras conclusiones.

Aquí, nuestro modelo consiste en electrones sin espín que no interactúan en un potencial desordenado con correlaciones espaciales de largo alcance. El hamiltoniano de nuestro modelo tiene la forma general39,45,46,

donde t denota la energía de transferencia (integrales de salto) entre los sitios vecinos más cercanos. Para simplificar, \(t=1,\) y todas las demás escalas de energía se miden en unidades de t. En el segundo término del hamiltoniano, \(\varepsilon _{n}(\alpha)\) representa la energía aleatoria diagonal de un electrón en el sitio n-ésimo de la red de tamaño N. La aleatoriedad en el potencial se demuestra como un desorden correlacionado espacialmente de largo alcance bajo densidad espectral, \(S(k)\sim k^{-\alpha },\) siendo \(\alpha\) la fuerza de correlación de la densidad espectral que controla la rugosidad de los paisajes potenciales. La amplitud potencial desordenada \(\varepsilon _{n}(\alpha )\), viene dada por39,40,41,42,45,47,

donde \(\mathscr {A}_{\alpha }\) es una constante de normalización que impone una varianza unitaria del potencial local \((\sigma _{\varepsilon }^{2} = 1)\) con media cero, y \(\phi _{k}\) son las N/2 fases aleatorias independientes que se distribuyen uniformemente en el intervalo [\(0,\,2\pi ]\). Es muy importante enfatizar que la distribución del desorden toma la siguiente forma sinusoidal de longitud de onda N con un ruido de desaparición,

(Color en línea) Una representación esquemática del proceso de enfriamiento cuántico bajo el modelo de Anderson correlacionado. Los parámetros \(\alpha _{i}\) y \(\alpha _{f}\) controlan la fuerza potencial de modulación previa y posterior a la extinción, respectivamente. Aquí, mostramos dos casos extremos de dinámica de extinción (flechas azules en negrita), es decir, \(\alpha _{i}=\infty (0)\), y \(\alpha _{f}=0 (\infty ) \). Una extinción abrupta de las variables del sistema desencadena una transición de fase dinámica en una red con N sitios. La línea discontinua negra delimita los regímenes de pre-apagado y post-apagado.

en el límite de correlación infinita del potencial de desorden. El potencial desordenado es un potencial de coseno estático con una fase aleatoria, y su valor local está dominado por un solo término, \(k=1\). Como consecuencia, el sistema exhibe un comportamiento metálico debido a la falta de desorden efectivo. En este límite la función espectral del modelo de Anderson correlacionado muestra un comportamiento idéntico a la densidad de estado en el espacio real45. En el límite de \(\alpha =0\), el sistema es de naturaleza aislante con todos los estados propios localizados. Para un sistema finito, la función de correlación normalizada, \(\mathscr {C}_{N}(\alpha ,r),\) del potencial desordenado se puede formular como40,41,

En el límite termodinámico, la función de correlación es lineal para \(\alpha =2\), convexa para \(\alpha >2\), y cóncava para \(1< \alpha <2\), cerca de \(\gamma \sim 0\), mientras que se vuelve negativo para \(\alpha >1\) cerca de \(\gamma \simeq 1\), donde \(\gamma =2r/N\) es la distancia reticular adimensional con \(\gamma \en [0,\,1]\)40. Por otro lado, la función de correlación de dos puntos normalizada de \(\varepsilon _{n}\) exhibe unas características muy notables para \(\alpha \lesssim 1\). El correlador es estacionario en el límite termodinámico, dado por

donde \(_{1}F_{2}(x)\) es una función hipergeométrica. Su comportamiento asintótico decae como \(r^{\alpha -1}\) para largas distancias:

La función de correlación termodinámica en función de la distancia r para varios \(\alpha\) se muestra en la Fig. 2 (panel izquierdo). La función de correlación resulta ser la función delta de Kronecker, \(\mathscr {C}_{\infty }(\alpha =0,r)=\delta _{r,0}\), en el límite \( \alpha \rightarrow 0\), recuperando el trastorno de Anderson no correlacionado habitual. La correlación aumenta con el exponente de correlación, tendiendo a la unidad para \(\alpha \sim 1\) en el límite termodinámico como se muestra en el panel derecho de la Fig. 2. Sin embargo, se puede ver claramente una convergencia muy lenta de la correlación en \ (r=1\) hacia el límite termodinámico, especialmente para \(\alpha \sim 1\). Intuitivamente, en \(r>1,\) las funciones de correlación convergen a la unidad para \(\alpha\) aproximaciones a uno.

Un proceso de apagado cuántico es un cambio abrupto en el \({\hat{\mathscr {H}}}(x)\) hamiltoniano de un sistema, donde x denota la fuerza del parámetro apagado. En el momento \(\tau =0\), \(\left| \Psi (x)\right\rangle\) es el estado fundamental preparado inicialmente del sistema con la condición de normalización \(\langle \Psi (x)|\ Psi (x)\rango =1\). El hamiltoniano \({\hat{\mathscr {H}}}(y)\) gobierna la evolución temporal del sistema por tiempos \(\tau >0\), alcanzando el estado evolutivo unitario23,24,25

Un eco de Loschmidt \(\mathscr {L}(x,y,\tau )\) es la versión dinámica de la fidelidad del estado fundamental (probabilidad de retorno), definida como 23,24,25,

Es una medida de la superposición entre una referencia inicial y el estado de evolución temporal, juega un papel central en la caracterización de los DQPT. La cantidad \(\langle \Psi (x)|\Psi (x,y,\tau )\rangle\) se conoce como la amplitud de Loschmidt \(\mathscr {G}(x,y,\tau )\) de el sistema templado. Fenomenológicamente, los apagados cuánticos desencadenan un estado de evolución temporal \(\left| \Psi (x,y,\tau )\right\rangle\) bajo el hamiltoniano posterior al apagado \({\hat{\mathscr {H}}}( y)\) desde un estado de referencia \(\left| \Psi (x)\right\rangle\).

(Color en línea) Panel izquierdo: La función de correlación normalizada de dos puntos del desorden local \(\varepsilon _{n}\) en el límite termodinámico. La función de correlación tiende a la unidad en el límite \(\alpha \sim 1\). Panel derecho: La función de correlación como una función de \(\alpha\) para varios tamaños de sistema en \(r=1\). Para tamaños finitos de sistemas grandes, las correlaciones convergen muy lentamente hacia el valor termodinámico en el límite \(\alpha \sim 1\).

(Color en línea) Escala logarítmica lineal: la evolución temporal del eco de Loschmidt para varios exponentes de correlación de modulación apagada \(\alpha _{f}\) con un sistema de tamaño \(N=512\). El estado inicial se fija para que sea el estado fundamental del hamiltoniano preapagado con potencial diagonal cero. La curva discontinua magenta correspondiente al resultado analítico en \(\alpha _{f}=\infty\) en el límite termodinámico.

Ahora nos concentramos en la dinámica de extinción del sistema desordenado correlacionado donde la extinción se caracteriza por un cambio abrupto de la fuerza de las correlaciones espaciales en el potencial aleatorio diagonal. Inicialmente, el sistema se considera en un estado \(\left| \Psi (\alpha _{i})\right\rangle\), que es el estado propio del hamiltoniano \(\hat{\mathscr {H}}( \alpha _{i})\) de fuerza de correlación preapagada \(\alpha _{i}\) en el tiempo \(\tau =0\) y \(\left| \Psi (\alpha _{i},\ alpha _{f},\tau )\right\rangle\) sea el estado de evolución en el tiempo después de realizar una dinámica de extinción abrupta al estado final del hamiltoniano \(\hat{\mathscr {H}}(\alpha _{f })\). El eco de Loschmidt toma la forma modificada como:

donde \(\alpha _{f}\) define la fuerza de la correlación de modulación posterior al enfriamiento en el tiempo \(\tau\).

El enfoque principal es estudiar la dinámica de extinción bajo un modelo correlacionado en diferentes regímenes41,42. En el caso de \((\varepsilon (\alpha _{i})=0),\) el estado propio inicial del hamiltoniano de pre-apagado \(\hat{\mathscr {H}}(\alpha _{i})\ ) es un estado de onda plana \(\left| \Psi (\alpha _{i})\right\rangle =\left| k\right\rangle\) con energía propia \(E_{k}=2t\cos ( ka)\), donde, a representa el espaciamiento de la red. Después de aplicar un proceso de extinción súbita en las correlaciones internas del potencial de desorden, la amplitud de Loschmidt correspondiente se puede expresar como,

cuando un estado extendido inicial se apaga en un régimen fuertemente correlacionado \((\alpha _{f}=\infty )\). Entonces, todos los estados propios \(\left| \Psi _{m}(\alpha _{f})\right\rangle\) del hamiltoniano posterior al enfriamiento rápido se deslocalizan con energía propia \(E_{m}=\sqrt{2} \cos \left( \frac{2\pi }{N}m+\phi _{1}\right)\). En este escenario, la amplitud de Loschmidt se puede modificar como:

En el rango de tamaño de sistema grande, la fase \(\varphi =(\frac{2\pi }{N}m+\phi _{1})\) se distribuye aleatoriamente entre \(-\pi\) y \( \Pi\). Por lo tanto, podemos reescribir la expresión Eq. (11) como:

donde \(J_{0}(x_{s})\), es la función de Bessel de orden cero de primer tipo, tiene una serie de ceros \(x_{s}\), con \(s\in \mathbb {N }\). La expresión analítica del eco de Loschmidt viene dada por,

A partir de esta expresión, es claro que el eco de Loschmidt tiene una serie de ceros en tiempos críticos \(\tau ^{*}=x_{s}/\sqrt{2}\), con s conjunto de raíces positivas. En el límite de s pequeño, las raíces de \(J_{0}(x)\) se pueden calcular aproximadamente mediante la aproximación de Stokes48,

La aparición de ceros en el eco de Loschmidt indica las transiciones de localización, denominadas transiciones de fase dinámica. Vale la pena mencionar que los estados evolucionados en el tiempo prolongados del hamiltoniano posterior a la extinción con desorden correlacionado (exponente de correlación infinita) son completamente diferentes de los del estado propio convencional (onda plana) del hamiltoniano de sistema puro previo a la extinción. Como consecuencia, la amplitud de Loschmidt, el producto escalar de la onda plana y los estados de evolución prolongada en el tiempo, se desvanece en momentos críticos, lo que indica transiciones de fase dinámicas.

(Color en línea) El complejo estado de evolución temporal \(\psi _{c}\), del hamiltoniano posquench con exponente de correlación de modulación \(\alpha _{f}\sim \infty\), para el sistema de tamaños \ (N=256\) (curva negra), \(N=512\) (curva azul) y \(N=1024\) (curva roja) en el momento crítico \(\tau ^{*}=3.9033\) . Los elementos \(\psi _{c}(\tau ^{*})\) forman una curva circular con centro en el origen en el plano complejo y \(r=0.063\) (línea negra), \(r= 0.044\) (línea roja) y \(r=0.032\) (línea azul) son sus radios correspondientes. Recuadro: El radio de los mismos datos en función de los tamaños del sistema en escala logarítmica. Los datos se ajustaron muy bien con una curva, \(y=a + b/x\) (curva discontinua roja).

La Figura 3 ilustra la evolución temporal del eco de Loschmidt, cuando un estado fundamental puro inicial (\(\varepsilon (\alpha _{i})=0\)) se apaga en un régimen desordenado correlacionado. Aquí se realizan los cálculos numéricos para el sistema de tamaño \(N=512\) y se toma la media muestral sobre 1024 realizaciones de desorden. Sin embargo, el mayor \(\alpha _{f}\) suavizará el perfil aleatorio y, por lo tanto, el eco de Loschmidt debido a la ausencia del desorden efectivo. Demostramos que el eco de Loschmidt tiende a cero para \(\alpha _{f}<1\) después de algún intervalo de tiempo para una realización dada del potencial desordenado. Por lo general, cuando un estado puro del sistema se apaga en un estado evolucionado en el tiempo prolongado, uno puede esperar un eco de Loschmidt unitario, ya que los estados de pre-apagado y post-apagado son ambos de onda plana. Por el contrario, en el límite \(\alpha _{f}\approx \infty\), el eco de Loschmidt presenta singularidades en la escala de tiempo, verificadas por el resultado analítico (curva discontinua magenta) obtenido en el límite termodinámico. Esta singular tendencia anómala del eco de Loschmidt caracteriza a los DQPT en el sistema de extinción cuántica.

Para conocer el origen de la transición de fase dinámica anómala, calculamos los autoestados del estado de evolución temporal del hamiltoniano postquench con exponente de correlación de modulación infinita. Es obvio que los estados propios de un cristal perfectamente puro son invariantes traslacionalmente con amplitudes de probabilidad que se extienden a todos los sitios de la red. Estos estados extendidos se explican por ondas planas, que son los estados propios correspondientes del hamiltoniano del sistema con espectro de energía \(E_{k}=2t\cos ka.\) Estos estados propios son

donde k, denota que el vector de onda se encuentra en la primera zona de Brillouin con \(k\in (-\frac{\pi {a},\frac{\pi }{a}]\). En la Fig. 4, manifestar la distribución de los elementos de estado propio complejos evolucionados en el tiempo para \(\alpha _{f}=1000\) con varios tamaños de sistema en el momento crítico \(\tau ^{*}=x_{2}/\sqrt{2} =3,9033\). En una correlación de desorden infinita, los estados propios están perfectamente ordenados (extendidos), sin embargo, son completamente diferentes de los del estado propio convencional. La media de los elementos de onda plana es exactamente igual a \(\sqrt{N},\ ) mientras que el valor promedio de los elementos de estado evolucionados en el tiempo se aproxima a cero. Es importante destacar que el peso del valor positivo y negativo de los elementos de estado complejos son aproximadamente iguales en los momentos críticos, lo que da como resultado una superposición que desaparece entre la onda plana y su estado evolucionado en el tiempo. En otras palabras, la amplitud de Loschmidt resulta ser,

en el límite de una fuerza de correlación infinita del desorden posterior a la extinción. Aquí, \(\left| \psi _{c}(\tau ^{*})\right\rangle\), es el estado de evolución temporal del hamiltoniano posterior al enfriamiento rápido con desorden correlacionado diagonal en el momento crítico. En el recuadro, presentamos la escala de tamaño finito del estado de evolución temporal en el momento crítico. Se observa que los radios varían como \(a+b/x\) (línea discontinua roja) obtenidos ajustando los datos. Esto muestra que los radios de la curva de elementos de estados propios evolucionados en el tiempo se aproximan a cero en el límite termodinámico.

Además, la dinámica de enfriamiento bajo el modelo de Aderson correlacionado para diferentes tamaños de sistemas se ilustra en la Fig. 5. Encontramos que el eco de Loschmidt disminuye con el aumento de los tamaños del sistema después de un intervalo de tiempo para la fuerza de las correlaciones finitas. Sin embargo, el eco de Loschmidt resultó ser independiente del tamaño en el límite de correlación fuerte. Se espera que esta característica universal del eco de Loschmidt se mantenga siempre que \(\alpha _{f}\) sea lo suficientemente grande. Además, analizamos la dinámica de extinción del sistema para el exponente de correlación posextinción finito como se muestra en la Fig. 6. En el régimen localizado, \(\alpha _{f} \lesssim 1\), el eco de Loschmidt decae como \(y= e^{-\ln {x}}\) con los tamaños del sistema como se muestra en la Fig. 6a,b. Sin embargo, para \(\alpha _{f}= 0\), obtenemos una clara desviación de la curva, lo que indica el valor finito que no desaparece del eco de Loschmidt en el límite termodinámico, como resultado del cambio en la curva con un tamaño creciente, como se muestra en la Fig. 5. Por otro lado, \(\alpha _{f} = 2\), el eco de Loschmidt inicialmente disminuye a un mínimo en el punto crítico \(\tau ^{*} = 3.9033\), luego aumenta a un punto fijo y disminuyen gradualmente con el tiempo como se muestra en la Fig. 5c. Por lo tanto, el eco se saturará hasta un punto fijo al aumentar el tamaño del sistema, como se muestra en la Fig. 6c. Además, el eco de Loschmidt se vuelve universal en el límite de correlación de desorden fuerte como se muestra en la Fig. 6d.

(Color en línea) Escala logarítmica lineal: la evolución temporal del eco de Loschmidt con (a) \(\alpha _{f}=0\), (b) \(\alpha _{f}=0.5,\) (c) \(\alpha _{f}=2,\) y (d) \(\alpha _{f}=5\) para diferentes tamaños de sistema \(N=128,\,256,\,\, \text {y}\,\,512\) con 2048 realizaciones de desorden. El estado inicial se fija para que sea el estado fundamental del hamiltoniano preapagado con \(\varepsilon (\alpha _{i})=0\). Mientras aumenta el tamaño del sistema, la evolución de los ecos de Loschmidt decae monótonamente durante \(\alpha _{f}<1\) después de algunos intervalos de tiempo. Para \(\alpha _{f}>1\), los ecos de Loschmidt decaen monótona o periódicamente a cero.

(Color en línea) Escala logarítmica: la evolución temporal del eco de Loschmidt en función de los tamaños del sistema con 2048 realizaciones de desorden de los datos presentados en la Fig. 5 en momentos críticos \(\tau ^{*} = 3,9033, ~6.1191,\,\text{y}~8.3379\).

Volviendo al caso en el que un estado fundamental preparado inicialmente del hamiltoniano de pre-apagado con desorden correlacionado diagonal se apaga en un estado evolucionado en el tiempo prolongado del hamiltoniano de post-apagado con \(\varepsilon (\alpha _{f})=0\). En el régimen fuertemente localizado (\(\varepsilon (\alpha _{i})\rightarrow \infty\)), se puede obtener analíticamente la evolución del eco de Loschmidt, \(\mathscr {L}(\tau )=\left | J_{0}(2\tau )\right| ^{2}\) en el límite termodinámico que está en excelente acuerdo con los resultados informados en la literatura23,25. Por lo tanto, por construcción, el promedio del conjunto de las energías en el sitio es cero y la varianza local (amplitud del potencial aleatorio) es independiente del sitio e igual a la unidad41. La figura 7 muestra el eco de Loschmidt para varios exponentes de correlación del hamiltoniano de pre-apagado. Se puede observar un decaimiento oscilante de los ecos de Loschmidt con el tiempo de evolución que se ajustan muy bien a la función de escala,

donde \(a_{0}\), \(a_{1},...,a_{6}\) son los parámetros de ajuste. El primer término en la Ec. (17) es dominante inicialmente, donde el eco de Loschmidt decae exponencialmente por un corto intervalo de tiempo, y luego decae oscilatoriamente después de algún intervalo de tiempo.

El eco de Loschmidt inicialmente se reduce a un valor mínimo y luego comienza a decaer oscilatoriamente con el intervalo de tiempo. Es importante destacar que, para un sistema finito fijo, el eco de Loschmidt aumenta con las correlaciones, tendiendo a la unidad en el límite \(\alpha _{i}\rightarrow \infty\), donde una estructura sinusoidal global comienza a desarrollarse en la configuración del desorden. En este caso, el sistema no muestra ninguna firma de transición de fase dinámica.

Otro aspecto importante de la dinámica de enfriamiento se refiere a la escala de tamaño del eco de Loschmidt del sistema. Resulta ser una función decreciente exponencial del tamaño del sistema para \(\alpha _{i}<1\) en tiempos de evolución fijos como se ilustra en la Fig. 8. Intuitivamente, se aproxima a cero después de algún intervalo de tiempo en el rango del límite termodinámico. Lo que es más importante, el eco de Loschmidt se vuelve independiente del tamaño en el punto de transición \((\alpha _{i}\sim 1)\). Para \(\alpha _{i}>1\), sin embargo, el eco de Loschmidt parece crecer exponencialmente con los tamaños del sistema para \(\alpha _{i}>1\), y tiende a la unidad en el límite termodinámico. Además, los ecos de Loschmidt están muy bien ajustados por,

donde a y b son constantes reales positivas. La expresión (18) muestra que la función de escala decae para \(\alpha _{i}<1\), permanece constante para \(\alpha _{i}\sim 1,\) y crece para \(\alpha _{i} i}>1\), correspondientes al régimen localizado, crítico y extendido del sistema, respectivamente. Los estudios numéricos han señalado la suavización de la amplitud del trastorno con el aumento del tamaño del sistema40,49. Sin embargo, argumentamos que esta suavización del panorama potencial ocurre para \(\alpha _{i}>1\). Por el contrario, se recupera el modelo de Anderson con desorden no correlacionado para \(\alpha _{i}<1\) al aumentar el tamaño del sistema. Asignamos esta estructura como una de las razones del surgimiento de la transición de deslocalización en el sistema. Además, utilizando la fórmula de Thouless generalizada50, la longitud de localización \(\xi\) del modelo de Anderson correlacionado para \(\alpha \lesssim 1\) puede calcularse analíticamente como41,42,

(Color en línea) Escala logarítmica lineal: la evolución temporal del eco de Loschmidt para varios exponentes de correlación de extinción previa \(\alpha _{i}\) con el tamaño del sistema \(N=512\) y muestra promediada sobre 2048 realizaciones de desorden . Los ecos de Loschmidt están bien ajustados (curvas verdes discontinuas-punteadas) por la ecuación. (17) para correlaciones finitas del potencial de desorden.

(Color en línea) Escala logarítmica lineal: escala del eco de Loschmidt para varios exponentes de correlación de preenfriamiento \(\alpha _{i}\) en el tiempo crítico de evolución \(\tau ^{*}=1.20238\) (panel izquierdo) y \(\tau ^{*}=2.76003\) (panel derecho) y muestra promediada sobre 2048 realizaciones de desorden. El estado inicial se fija para que sea el estado fundamental del hamiltoniano de pre-apagado con potencial correlacionado. Los ecos de Loschmidt están bien ajustados (curvas magenta) por la ecuación. (18) para correlaciones finitas. El error estadístico (símbolos con barras de error) se puede estimar mediante las desviaciones estándar del eco de Loschmidt con los diferentes tamaños del sistema. Los datos numéricos se linealizan utilizando una escala logarítmica lineal.

en el límite termodinámico a la energía E. Este resultado se ha verificado numéricamente mediante el cálculo de la longitud de localización a partir de la escala de la conductancia41 y el método del polinomio kernel42. Es evidente que la longitud de localización diverge como \(\alpha \rightarrow 1\) para cualquier valor arbitrario de la energía de la banda, lo que indica la existencia de una transición de deslocalización. Nuestros resultados apoyan la idea de que la transición de deslocalización ocurre en \(\alpha \sim 1\), en el límite termodinámico. Resulta que el eco de Loschmidt también se puede emplear como técnica teórica para la investigación de la transición de fase de deslocalización en el modelo de Anderson correlacionado.

Además, explorar el análisis de extinción cuántica para el escenario en el que un estado fundamental inicial del sistema de desorden correlacionado se apaga en un estado del sistema evolucionado en el tiempo con un potencial de desorden correlacionado diagonalmente. La dinámica de extinción entre dos hamiltonianos aleatorios independientes con \(\alpha _{i}=0\) y \(\alpha _{f}=5\), que conduce a una caída oscilante del eco de Loschmidt después de un intervalo de tiempo como representado en la Fig. 9 (panel izquierdo). El resultado tiene un parecido sorprendente con los datos presentados en la Fig. 7, donde un estado de referencia \((\alpha _{i}=0)\) se apaga en un estado extendido del sistema evolucionado en el tiempo con un potencial diagonal cero \( (\varepsilon (\alpha _{f})=0)\). De hecho, uno esperaría resultados similares a los del estado de evolución temporal donde ambos casos se extienden. Sin embargo, se puede obtener una pequeña desviación del eco de Loschmidt para un sistema finito cuando \(\alpha _{f}\) se acerca a la región crítica. En el recuadro mostramos que el eco de Loschmidt decae exponencialmente a cero en el límite termodinámico. Para el caso donde \(\alpha _{i}=5\) y \(\alpha _{f}=0\), el eco de Loschmidt decae monótonamente a un valor finito después de un intervalo de tiempo como se muestra en la Fig. 9 (panel derecho). Sin embargo, el sistema muestra los DQPT, caracterizados por el valor de fuga del eco de Loschmidt en el límite termodinámico (recuadro). Además, las características de escala favorables del eco de Loschmidt se vuelven vitales, ya que permiten predecir la naturaleza del modelo de Anderson correlacionado.

Por lo general, el eco de Loschmidt decae desde la unidad, oscila con la misma frecuencia y amplitud de amortiguamiento después de un intervalo de tiempo, si un estado inicialmente extendido se extingue en un régimen fuertemente localizado23,24,25. Sin embargo, la dinámica de enfriamiento bajo el modelo de Anderson correlacionado revela que el eco de Loschmidt muestra cualitativamente un comportamiento de descomposición similar en diferentes momentos críticos, si el estado extendido inicial se apaga en un régimen fuertemente correlacionado.

(Color en línea) La evolución temporal del eco de Loschmidt para \(\alpha _{i}=0\) y \(\alpha _{f}=5\) (panel izquierdo) y \(\alpha _{i} =5\) y \(\alpha _{f}=0\) (panel derecho) con el tamaño del sistema \(N=512\), con un promedio de 2048 muestras. Recuadros: Escala de tamaño finito de los ecos de Loschmidt del tiempo de evolución crítico fijo correspondiente \(\tau ^{*}=4.3269\) (punto rojo). Los ecos de Loschmidt están bien ajustados (curvas discontinuas magenta) mediante una función exponencial decreciente \(y=ae^{-bx},\) donde a y b son los parámetros de ajuste. El error estadístico (símbolos con barras de error) se puede estimar mediante las desviaciones estándar del eco de Loschmidt con los diferentes tamaños del sistema. Los datos se linealizan mediante el uso de una escala logarítmica lineal en las inserciones.

Una hoja de ruta fascinante de la investigación es la interacción mutua entre las correlaciones en las integrales de salto y las energías in situ. Como se muestra, las correlaciones en el potencial de desorden en el sitio pueden desencadenar las transiciones de fase dinámicas según el parámetro de control de correlación y el proceso de extinción. Un seguimiento intrigante de nuestro trabajo actual sería la investigación de las transiciones de fase dinámicas en el modelo con integral de salto de correlación de ley de potencia.

Estudiamos la dinámica de no equilibrio del modelo de Anderson correlacionado no interactivo 1D donde la dinámica de enfriamiento es inducida por un cambio abrupto en la fuerza de las correlaciones de desorden. El sistema mostró una transición de fase dinámica anómala cuando un estado fundamental puro inicial se apaga en un régimen de desorden fuertemente correlacionado. En este límite, las correlaciones de desorden indujeron singularidades en forma de cúspide en el eco de Loschmidt en momentos críticos, que se confirman mediante cálculos analíticos en el límite de la termodinámica. En otras palabras, la superposición entre la onda plana y su estado deslocalizado evolucionado en el tiempo exhibió series de ceros periódicamente con tiempos críticos, reflejando los DQPT anómalos. Además, el sistema mostró un comportamiento de escala de tamaño universal en las fuertes correlaciones de desorden. Por el contrario, el eco de Loschmidt decae monótonamente para el potencial de ruido blanco posterior a la extinción (estado localizado evolucionado en el tiempo). Además, el eco de Loschmidt resultó ser dependiente del tamaño para el potencial tipo Anderson.

También se ha investigado la dinámica entre los hamiltonianos puros de pre-apagado aleatorio y post-apagado. Se señala que los ecos de Loschmidt decaen monótonamente antes de un tiempo finito y luego experimentan un decaimiento oscilatorio con el tiempo, un estado localizado inicial (trastorno similar al de Anderson) en un régimen extendido evolucionado en el tiempo (cero potencial in situ). El eco de Loschmidt aumenta cuantitativamente al aumentar las correlaciones de desorden y se acerca a la unidad en el límite de correlación infinita. Sin embargo, el decaimiento del eco de Loschmidt mejoró (suprimió) al aumentar el tamaño del sistema para un régimen inicialmente localizado (deslocalizado). Como consecuencia, el sistema exhibió los DQPT para un estado inicialmente localizado con un desorden tipo Anderson en el límite termodinámico. Mientras que los ecos de Loschmidt resultaron ser la unidad para un estado inicialmente deslocalizado \((\alpha _{i}>1)\) en el límite termodinámico. Además, el comportamiento de escala del eco de Loschmidt se mapea con la identificación de la transición de fase de deslocalización inducida por correlación en el modelo de Anderson correlacionado.

Los conjuntos de datos utilizados y/o analizados durante el estudio actual están disponibles del autor correspondiente a pedido razonable.

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NAK y MJ reconocen la beca posdoctoral apoyada por la Universidad Normal de Zhejiang en virtud de las subvenciones Nos. ZC304022980 y ZC304022918, respectivamente. GX reconoce el apoyo de la NSFC en virtud de las subvenciones n.º 11835011 y 12174346.

Departamento de Física, Universidad Normal de Zhejiang, Jinhua, 321004, República Popular China

Niaz Ali Khan, Pei Wang, Munsif Jan y Gao Xianlong

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NAK desarrolló el formalismo teórico, realizó las simulaciones analíticas y numéricas, verificadas por MJ, PW y GX, NAK escribió el manuscrito original, revisado por PW y MJ, GX financió y supervisó el proyecto. Todos los autores discutieron los resultados y contribuyeron al manuscrito final.

Correspondencia a Munsif Jan o Gao Xianlong.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Khan, NA, Wang, P., Jan, M. et al. Transiciones de fase dinámica inducidas por correlación anómala. Informe científico 13, 9470 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-36564-9

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Recibido: 24 abril 2023

Aceptado: 06 junio 2023

Publicado: 10 junio 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-36564-9

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